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É utilizada para se referir a alguém que está sendo muito subserviente ou bajulador, alguém que está sempre tentando agradar e ser bem visto pelos outros. A origem da expressão não é clara, mas é possível que tenha a ver com o fato de que, em algumas regiões do Brasil, é comum que as pessoas se sirvam de chá usando um bule ou chaleira com bico, o que poderia indicar uma associação entre o ato de "pegar no bico da chaleira" e o ato de querer agradar e servir os outros.
Exemplo de uso #1Ôxe, esse sujeito num tem jeito, só fica querendo agradar todo mundo, pegando no bico da chaleira sem parar!